Calcul de dièses dans les gammes majeures et une conjecture pour les bémols dans la gamme équisonnante

Combien de dièses dans une gamme donnée ? Peu de monde dans mon lectorat sera sans savoir que les gammes s'étendent par quintes : en avançant par quintes en partant de do, on trouve les gammes majeures : do, sol, ré, la, mi, si, fa#, do#, sol#, ...
Une quinte, c'est 7 demi-tons; en partant de do=0 et en faisant successivement +7 (modulo 12 parcequ'une octave c'est 12 demi-tons), on trouve 0, 7, 14=2, 9, 16=4, ... Remarquez qu'effectivement, le 2 est le ré (2 demi-tons de do) et le 9 est le la et le 4 est mi (4 demis-tons de do).

À chaque fois qu'on avance d'une quinte, on avance d'une gamme, et on ajoute un dièse (à la quarte de la tonique précédente). Les dièses avancent aussi par quintes. Si on me demande le nombre de dièses que contient la majeur, voici comment faire :

1.Trouver ce que vaut la en termes de demi-tons : la=9.
Puis résoudre (7*k)mod 12=9 par rapport à l'entier k. (7 parce qu'il y a 7 demi-tons dans une quinte) Pour ce faire, suivre les étapes suivantes :
2. Réecrire l'équation sous la forme 7k=9+12n pour les entiers n et k. On trouve donc la superbe équation
k=(9+12n)/7.

3. Comme je ne connais pas de moyens intelligents pour résoudre cette équation diophantienne (càd dont on cherche uniquement des solutions entières), je fais comme ça : j'écris 9, 9+12, 9+2*12, 9+3*12, ... jusqu'à ce que le nombre obtenu soit divisible par 7. À ce moment le quotient par 7 donne le nombre de dièses dans la gamme de ré.

Pas convaincu ?
9
9+12=21. 21 est divisible en 7 et 21/7=3. Il y a bien 3 dièses en la majeur.

Exemple plus compliqué ?

sol# est à 8 demi-tons de do.

Si on n'est pas doué en calcul, on se souvient avoir un ordinateur sous les doigts, et on fait un peu travailler OpenOffice (pour une fois qu'on a quelque chose à lui demander qui prendrait plus de temps en LaTeX)

La première colonne ajoute 12 à chaque ligne tandis que la seconde colonne est la première divisée par 7.

8 1,14
20 2,86
32 4,57
44 6,29
56 8
68 9,71
80 11,43
92 13,14
104 14,86
116 16,57
128 18,29
140 20
152 21,71
164 23,43
176 25,14
188 26,86
200 28,57
212 30,29
224 32
236 33,71
248 35,43

Le premier nombre entier qu'on trouve est 8. On a bien 8 dièses en sol#.

...

Et dire qu'il y en a qui étudient par c\oeur le tableau des altérations alors qu'il suffit d'un peu calculer.
Exercice de numérologie : Il y a 12 demi-tons dans l'octave, or 12-8=4... hein ? quoi ? Il y a 4 bémols en lab=sol#... coïncidence ???

Encore de la numérologie ? C'est qu'on est quasiment dans le solfège expérimental là ! (pauvre moi qui ait une réputation de théoricien à soutenir). Qu'importe; lançons-nous... écrivons le tableau pour do#=réb :
La troisième colonne vaut 12-la seconde colonne.

1 0,14 11,86
13 1,86 10,14
25 3,57 8,43
37 5,29 6,71
49 7 5
61 8,71 3,29
73 10,43 1,57
85 12,14 -0,14
97 13,86 -1,86
109 15,57 -3,57
121 17,29 -5,29
133 19 -7
145 20,71 -8,71
157 22,43 -10,43
169 24,14 -12,14
181 25,86 -13,86
193 27,57 -15,57
205 29,29 -17,29
217 31 -19


La deuxième colonne contient le nombre de dièses dans do# et la troisième, le nombre de bémol dans réb. Le 5 et le 7 ne sont pas étonnants. Ce qui est par contre très fort, c'est le -7 bémol qui arrive plus loin : -7 bémol est égal à 7 dièses. Mieux : le -19 qui vient plus loin dans la colonne des bémols équivaut au 19 de la colonne des dièses !
Un bémol, c'est vraiment un dièse avec un signe moins.