vendredi 5 janvier 2007

La physique est sauvée !

J'avais posté il y a quelque tempe un paradoxe dans le comptage de l'énergie cintétique en mécanique.

Hier, après une demi-heure de réflexion avec un autre physicien (à deux, on totalisait 8 ans d'études en physique et 6 ans de thèse en physique mathématique), je crois qu'on a trouvé la solution.
Youpie !
Je posterai ça quand j'aurai pris le temps de mettre mes idées en ordre.
Pour rappel, voici l'énoncé du problème.

Mettons que j'aie une masse de 2Kg (donc mon énergie cinétique vaut v^2). J'avance à 0m/s puis j'accélère jusqu'à 5m/s. Du coup de consome 25 joules. À partir du moment où je vais à 5m/s, je peux me considérer comme au repos et recommencer à accélérer de 5m/s et donc reconsommer 25 joules.

En tout j'aurai consommé 50 joules pour passer de 0 à 10m/s. Mais pour passer de 0 à 10m/s, j'aurais dû consomer 100 joules !

Où sont passés les 50 derniers joules ?

5 commentaires:

Sacha a dit…

Il faudrait que j'y réfléchisse moi aussi. J'avais lu le billet, j'ai trouvé la chose étrange, mais je n'ai pas trouvé de réponse.

La réponse est certainement 100 Joules et non 50, mais après?

Est-ce facile ou pas?

moky a dit…

En tout cas, c'est sufisament compliqué pour que je ne sois pas encore capable de donner une réponse claire; je vois où est la solution, mais pas encore plus.

Ce qui est certain, c'est que quand j'aurai en main une réponse complète clairement énoncée, ça aura l'air simple :)

Je crois que la réponse n'est ni 100 ni 50. Elle dépends du référentiel. D'une part, l'énergie n'est pas un invariant (par changement de repère), et d'autre part, le travail d'une force non plus.
Si j'applique une force de 1N sur un objet de masse 1Kg pendant 1 seconde, dans le référentiel où l'objet est au repos au départ, j'aurai comme travail 1N*1/2=1/2 joule (force*déplacement et ici le déplacement et at^2/2 avec a=1 et t=1).
Dans un référentiel où l'objet au départ bouge à une vitesse v, le déplacement vaut at^2/2+vt et donc le travail de LA MÊME FORCE sera différent.

La réponse au paradoxe est à mon avis de ce côté là, mais il faut encore exprimer ça clairement.

lurch agoratoire a dit…

Sans réfléchir et sans calculs, la raison du "paradoxe" est évidente: vous utilisez deux référentiels différents dans vos calculs. C'est un peu comme si vous preniez l'ascenseur au premier pour monter de 10 étages et arrivé au 11ème, vous renumérotez tous les étages supérieurs à partir de 1 pour vous demandez ensuite "Mais où sont donc passé les dix étages?". Le paradoxe disparait aussitôt si vous imaginez qu'il y a deux individus; un au repos et un autre qui circule déjà à 5km/sec. Utilisez le référentiel au repos pour vos calculs. Vous voyez l'autre s'éloigner de vous à vitesse constante. Vous accélerez jusqu'à atteindre 5km/sec. L'autre semble maintenant immobile par rapport à vous. Il accélère juste assez pour que vous le voyez s'éloigner à la même vitesse constante qu'auparavant. Faites les calculs en utilisant le repère original et vous verrez bien que la différence entre vos énergies est de 75 joules.
Si vous aimez les problèmes pourquoi ne pas vous faire les dents sur ceux de David Morin?

lurch agoratoire a dit…

Bon. OK. Disons que ce sont des m/sec au lieu des km/sec.

keke a dit…

L'énergie cinétique n'est pas une fonction linéaire de la vitesse. Cela "coûte" plus cher en énergie de passer de 5 à 10m/s que de 0 à 5m/s. En fait, l'énergie qu'il faut dépenser pour changer la vitesse de dv vaut dE=2vdv (c'est une simple différentielle). L'énergie du système à v1=5m/s est donné par l'intégrale de dE pour v variant de 0 à v1 : E=int(0,v1,2vdv). pour passer de 0 à 10, c'est tout simplement int(0,10, 2vdv) ce qui fait 100J, et 25J de 0 à 5m/s. Mais on ne peut pas écrire int(0,5,2vdv)=int(5,10,2vdv). En mathématique, cela s'appelle je crois une translation. Ce n'est pas toujours possible. C'est une erreur que font assez souvent les étudiants en première année. Bon, la démonstration est un peu mathématique mais c'est là que l'on voit que la physique est une science tout aussi rigoureuse.